(Ⅰ)设P的坐标为(0,y),则P至三镇距离的平方和为f(y)=2(25+y2)+(12-y)2=3(y-4)2+146. 所以,当y=4时,函数f(y)取得最小值. 答:点P的坐标是(0,4). (Ⅱ)解法一:P至三镇的最远距离为g(x)= | ,当≥|12-y| | |12-y|,当<|12-y|. |
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由≥|12-y|解得y≥,记y*=,于是g(x)= 因为在[y*,+∞)上是增函数,而|12-y|在(-∞,y*]上是减函数. 所以y=y*时,函数g(y)取得最小值.
答:点P的坐标是(0,); 解法二:P至三镇的最远距离为 g(x)= | ,当≥|12-y| | |12-y|,当<|12-y|. |
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由≥|12-y|解得y≥,记y*=,于是g(x)= 函数x=g(y)的图象如图(a), 因此,当y=y*时,函数g(y)取得最小值.
答:点P的坐标是(0,); 解法三:因为在△ABC中,AB=AC=13,且,=12>5=OC,∠ACB=,如图(b). 所以△ABC的外心M在线段AO上,其坐标为(0,),且AM=BM=CM. 当P在射线MA上,记P为P1; 当P在射线MA的反向延长线上,记P为P2,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A,且P1C≥MC,P2A≥MA,所以点P与外心M重合时,P到三镇的最远距离最小. 答:点P的坐标是(0,); |