有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=a,BC=2b,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处(建立坐标系如图
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有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=a,BC=2b,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处(建立坐标系如图
题型:北京
难度:
来源:
有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=a,BC=2b,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处(建立坐标系如图).
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和最小,则P应位于何处?
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,则P应位于何处?
答案
(Ⅰ)由题设条件a>b>0,设P的坐标为(0,y),则P至三镇距离的平方和为
f(y)=2(
b
2
+
y
2
)+(
a
2
-
b
2
-y
)
2
=
3
y
2
-2
a
2
-
b
2
y+
a
2
+
b
2
所以,当
y=
a
2
-
b
2
3
时,函数f(y)取得最小值.
答:点P的坐标是
(0,
a
2
-
b
2
3
)
(Ⅱ)记
h=
a
2
-
b
2
P至三镇的最远距离为
g(x)=
b
2
+
y
2
,当
b
2
+
y
2
≥|h-y|
|h-y|,当
b
2
+
y
2
<|h-y|.
由
b
2
+
y
2
≥|h-y|
解得
y≥
h
2
-
b
2
2h
,记
y
*
=
h
2
-
b
2
2h
,
于是
g(x)=
b
2
+
y
2
,当y≥
y
*
|h-y|,当y<
y
*
.
当
y
*
=
h
2
-
b
2
2h
≥0
,即h≥b时,
因为
b
2
+
y
2
在[y
*
,+∞)上是增函数,而|h-y|在(-∞,y
*
]上是减函数.
所以y=y
*
时,函数g(y)取得最小值.点P的坐标是
(0,
h
2
-
b
2
2h
)
当
y
*
=
h
2
-
b
2
2h
<0
,即h<b时,因为
b
2
+
y
2
在[y
*
,+∞)上当y=0函数g(y)取得最小值b,而|h-y|在(-∞,y
*
]上是减函数,且|h-y|>b,所以y=0时,函数g(y)取得最小值.
答:当h≥b时,点P的坐标是
(0,
h
2
-
b
2
2h
)
;当h<b时,点P的坐标是(0,0),其中
h=
a
2
-
b
2
举一反三
设椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足
OM
=
1
2
(
OP
+
OF
),则
|
OM
|
=______.
题型:辽宁
难度:
|
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在极坐标系中,曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为
5
+1
2
5
+1
2
.
题型:上海
难度:
|
查看答案
若实数x,y满足(x+5)
2
+(y-12)
2
=14
2
,则x
2
+y
2
的最小值为( )
A.2
B.1
C.
3
D.
2
题型:不详
难度:
|
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方程为x
2
+y
2
+4x=x-y+1的曲线上任意两点之间距离的最大值为______.
题型:淄博二模
难度:
|
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设点M是Z轴上一点,且点M到A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等,则点M的坐标是( )
A.(-3,-3,0)
B.(0,0,-3)
C.(0,-3,-3)
D.(0,0,3)
题型:不详
难度:
|
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