设椭圆x225+y216=1上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足OM=12(OP+OF),则|OM|=______.
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设椭圆x225+y216=1上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足OM=12(OP+OF),则|OM|=______.
题型:辽宁
难度:
来源:
设椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足
OM
=
1
2
(
OP
+
OF
),则
|
OM
|
=______.
答案
由椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
得a=5,b=4,
根据勾股定理得c=3,则左准线为
x=-
25
3
,左焦点F(-3,0),
设P(x,y),因为P到左准线的距离为10,列出
|x+
25
3
|
1
2
+
0
2
=10,
解得x=
5
3
或x=-
55
3
(舍去);
又P在椭圆上,则将x=
5
3
代入到椭圆方程中求出y=
±
8
2
3
,
所以点P(
5
3
,
±
8
2
3
);
由点M满足
OM
=
1
2
(
OP
+
OF
),则得M为PF中点,
根据中点坐标公式求得M(-
2
3
,±
4
2
3
),
所以
|
OM
|
=
(-
2
3
)
2
+
(±
4
2
3
)
2
=2
故答案为2.
举一反三
在极坐标系中,曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为
5
+1
2
5
+1
2
.
题型:上海
难度:
|
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若实数x,y满足(x+5)
2
+(y-12)
2
=14
2
,则x
2
+y
2
的最小值为( )
A.2
B.1
C.
3
D.
2
题型:不详
难度:
|
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2
+y
2
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