已知曲线的方程为:(,为常数).(1)判断曲线的形状;(2)设曲线分别与轴、轴交于点、(、不同于原点),试判断的面积是否为定值?并证明你的判断;(3)设直线与曲

已知曲线的方程为:(,为常数).(1)判断曲线的形状;(2)设曲线分别与轴、轴交于点、(、不同于原点),试判断的面积是否为定值?并证明你的判断;(3)设直线与曲

题型:不详难度:来源:
已知曲线的方程为:为常数).
(1)判断曲线的形状;
(2)设曲线分别与轴、轴交于点不同于原点),试判断的面积是否为定值?并证明你的判断;
(3)设直线与曲线交于不同的两点,且,求曲线的方程.
答案
(1)圆;(2)详见解析;(3).
解析

试题分析:(1)在曲线的方程两边同时除以,并进行配方得到,从而得到曲线的具体形状;(2)在曲线的方程中分别令求出点的坐标,再验证的面积是否为定值;(3)根据条件得到圆心在线段的垂直平分线上,并且得到圆心与原点的连线与直线垂直,利用两条直线斜率乘积为,求出值,并利用直线与圆相交作为检验条件,从而确定曲线的方程.
试题解析:(1)将曲线的方程化为
可知曲线是以点为圆心,以为半径的圆;
(2)的面积为定值.
证明如下:
在曲线的方程中令,得点
在曲线方程中令,得点
(定值);
(3)过坐标原点,且
圆心的垂直平分线上,
时,圆心坐标为,圆的半径为
圆心到直线的距离
直线与圆相离,不合题意舍去,
,这时曲线的方程为.
举一反三
在平面直角坐标系中,已知点在圆内,动直线过点且交圆两点,若△ABC的面积的最大值为,则实数的取值范围为      
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在平面直角坐标系xOy中,设是半圆)上一点,直线的倾斜角为45°,过点轴的垂线,垂足为,过的平行线交半圆于点,则直线的方程是    
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设实数abc满足a2b2c≤1,则abc的最小值为    
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直线kxy+6=0被圆x2y2=25截得的弦长为8,求k的值.
题型:不详难度:| 查看答案
若圆C:关于直线对称,则由点向圆所作的切线长的最小值是(  )
A.2B. 4C.3D.6

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