试题分析:(1)在曲线 的方程两边同时除以 ,并进行配方得到 ,从而得到曲线 的具体形状;(2)在曲线 的方程中分别令 与 求出点 、 的坐标,再验证 的面积是否为定值;(3)根据条件 得到圆心在线段 的垂直平分线上,并且得到圆心与原点 的连线与直线 垂直,利用两条直线斜率乘积为 ,求出 值,并利用直线与圆相交作为检验条件,从而确定曲线 的方程. 试题解析:(1)将曲线 的方程化为 , 可知曲线 是以点 为圆心,以 为半径的圆; (2) 的面积 为定值. 证明如下: 在曲线 的方程中令 得 ,得点 , 在曲线 方程中令 得 ,得点 ,
(定值); (3) 圆 过坐标原点,且 ,
圆心 在 的垂直平分线上, , , 当 时,圆心坐标为 ,圆的半径为 , 圆心到直线 的距离 , 直线 与圆 相离,不合题意舍去,
,这时曲线 的方程为 . |