试题分析:(1)根据所求直线与已知直线垂直,可设出直线方程,再根据直线与圆相切,所以有(其中表示圆心到直线的距离),可得到直线方程; (2)方法一:假设存在这样的点,由于的位置不定,所以首先考虑特殊位置,①为圆与轴左交点或②为圆与轴右交点这两种情况,由于对于圆上的任一点,都有为一常数,所以①②两种情况下的相等, 可得到,然后证明在一般的下, 为一常数. 方法二:设出,根据对于圆上的任一点,都有为一常数,设出以及该常数,通过,代入的坐标化简,转化为恒成立问题求解. 试题解析:(1)已知直线变形为为,因为所求直线与已知直线垂直, 所以设所求直线方程为,即. 由直线与圆相切,可知,其中表示圆心到直线的距离, 则,得,故所求直线方程为. (2)假设存在这样的点, 当为圆与轴左交点时,, 当为圆与轴右交点时, 依题意,,解得(舍去),或. 下面证明:点对于圆上任一点,都有为一常数. 设,则. , 从而为常数. 方法2:假设存在这样的点,使得为常数,则, 设于是,由于在圆上,所以,代入得, , 即对恒成立, 所以 ,解得或(舍去), 故存在点对于圆上任一点,都有为一常数. |