(1)抛物线y2=p(x+1)的准线方程是x=-1-, 直线x+y=m与x轴的交点为(m,0), 题设交点在准线右边, 得m>-1-,即4m+p+4>0. 由, 得x2-(2m+p)x+(m2-p)=0. 而判别式△=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4). 又p>0及4m+p+4>0, 可知△>0. 因此,直线与抛物线总有两个交点; …(4分) (2)设Q、R两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 由(1)知,x1、x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的两根, ∴x1+x2=2m+p,x1•x2=m2-p. 由OQ⊥OR,得kOQ•kOR=-1, 即有x1x2+y1y2=0. 又Q、R为直线x+y=m上的点, 因而y1=-x1+m,y2=-x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0, ∴p=f(m)=, 由, 得m>-2,m≠0;…(9分) (3)由于抛物线y2=p(x+1)的焦点F坐标为(-1+,0), 于是有=, 即|p-4m-4|=4. 又p=, ∴||=4. 解得m1=0,m2=-,m3=-4,m4=-. 但m≠0且m>-2,因而舍去m1、m2、m3, 故所求直线方程为3x+3y+4=0.…(14分) |