试题分析:因为a=,e=,所以c=1(2分)则b=1,即椭圆C的标准方程为+y2=1(4分)(2)因为P(1,1),所以kPF=,所以kOQ=-2,所以直线OQ的方程为y=-2x(6分) 又椭圆的左准线方程为x=-2,所以点Q(-2,4)(7分) 所以kPQ=-1,又kOP=1,所以kOP⊥kPQ=-1,即OP⊥PQ, 故直线PQ与圆O相切(9分) (3)当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切(10分) 证明:设P(x0,y0)(x0≠±),则y02=2-x02,所以kPF=,kOQ=-,所以直线OQ的方程为y="-" x(12分)所以点Q(-2,(13分)所以kPQ= - ,又kOP= ,所以kOP⊥kPQ=-1,即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆O相切 点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,注意公式的合理运用. |