平面直角坐标系中,O为坐标原点,M是直线l:x=3上的动点,过点F(1,0)作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P(m,n).则m,n满足的关系式为______
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平面直角坐标系中,O为坐标原点,M是直线l:x=3上的动点,过点F(1,0)作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P(m,n).则m,n满足的关系式为______. |
答案
设点M(3,k),则由PF⊥OM可得 •=-1, 化简可得 nk=3-3m ①. 再由直径对的圆周角为直角,可得OP⊥PM,△OPM为直角三角形,故由勾股定理可得 OP2+PM2=OM2,即 m2+n2+(m-3)2+(n-k)2=32+k2. 化简可得 2m2+2n2-6m-2nk=0 ②. 再把①代入②化简可得 m2+n2=3, 故答案为 m2+n2=3. |
举一反三
已知方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圆C. (Ⅰ)求实数m的取值范围; (Ⅱ)在已知方程表示的所有圆中,能否找到圆C1,使得圆C1经过点P(2,1),Q(4,-1)两点,且与圆x2+y2-4x-5=0相切?说出理由. |
若圆C经过坐标原点和点(6,0),且与直线y=1相切,从圆C外一点P(a,b)向该圆引切线PT,T为切点, (Ⅰ)求圆C的方程; (Ⅱ)已知点Q(2,-2),且|PT|=|PQ|,试判断点P是否总在某一定直线l上,若是,求出l的方程;若不是,请说明理由; (Ⅲ)若(Ⅱ)中直线l与x轴的交点为F,点M,N是直线x=6上两动点,且以M,N为直径的圆E过点F,圆E是否过定点?证明你的结论. |
已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2,求圆C的方程. |
已知以点C(t,)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点. (1)求证:△OAB的面积为定值; (2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程. |
若A(1,1),B(3,5),C(4,4),则△ABC的外接圆方程为______. |
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