已知⊙O:x2+y2=1和定点A(2,1),由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.(1)求实数a,b间满足的等量关系;(
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已知⊙O:x2+y2=1和定点A(2,1),由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求实数a,b间满足的等量关系; (2)求线段PQ长的最小值; (3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点,试求半径最小值时⊙P的方程. |
答案
(1)连接OQ,∵切点为Q,PQ⊥OQ,由勾股定理可得 PQ2=OP2-OQ2. 由已知PQ=PA,可得 PQ2=PA2,即 (a2+b2)-1=(a-2)2+(b-1)2. 花简可得 2a+b-3=0. (2)∵PQ====, 故当a=时,线段PQ取得最小值为. (3)若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R,由于⊙O的半径为1,∴|R-1|≤PO≤R+1. 而OP===,故当a=时,PO取得最小值为, 此时,b=-2a+3=,R取得最小值为-1. 故半径最小时⊙P 的方程为 (x-)2+(y-)2=(-1)2. |
举一反三
已知圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1,圆(x-4)2+y2=1的圆心为M2,一动圆与这两个圆都外切. (1)求圆心M1、M2的坐标以及两圆的半径; (2)求动圆圆心P的轨迹方程. |
以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为______. |
方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程. |
已知圆C经过点A(0,5)、B(1,-2)、D(-3,-4) (1)求圆C的方程; (2)求斜率为2且与圆C相切的直线的方程. |
圆(x+2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是( )A.(2,3)、 | B.(-2,-3)、2 | C.(2,3)、1 | D.(-2,-3)、 |
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