已知Rt △ABC ，|AB|=2a(a>0) ，求直角顶点C的轨迹方程，

题型：同步题难度：来源：

已知Rt △ABC ，|AB|=2a(a>0) ，求直角顶点C的轨迹方程，

答案

解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
则有A（-a，0），B(a，0)，设顶点C(x，y).  
  
解法一：由△ABC是直角三角形可知|AB|²=|AC|²+|BC|²，
即(2a)²=(x+a)²+y²+(x-a)²+y2，
化简得x²+y²=a²．
依题意可知x≠±a．    
故所求直角顶点C的轨迹方程为x²+y²=a²（x≠±a）．    
解法二：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，
所以k_AC·k_BC=-1，
则(x≠±a)，
化简得直角顶点C的轨迹方程为x²+y²=a²（x≠±a）．    
解法三：由△ABC是直角三角形可知|OC|=|OB|，
所以=a，
化简得直角顶点C的轨迹方程为x²+y²=a²(x≠±a).