如图,已知直线l:x=my+4(m∈R)与x轴交于点P,交抛物线y2=2ax(a>0)于A,B两点,坐标原点O是PQ的中点,记直线AQ,BQ的斜率分别为k1,k
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如图,已知直线l:x=my+4(m∈R)与x轴交于点P,交抛物线y2=2ax(a>0)于A,B两点,坐标原点O是PQ的中点,记直线AQ,BQ的斜率分别为k1,k
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知直线l:x=my+4(m∈R)与x轴交于点P,交抛物线y
2
=2ax(a>0)于A,B两点,坐标原点O是PQ的中点,记直线AQ,BQ的斜率分别为k
1
,k
2
.
(Ⅰ)若P为抛物线的焦点,求a的值,并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系.
(Ⅱ)试证明:k
1
+k
2
为定值.
答案
(Ⅰ)由直线l:x=my+4得点P(4,0),故
a
2
=4⇒a=8
…(2分)
设交点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),它们的中点
M(
x
1
+
x
2
2
,
y
1
+
y
2
2
)
,
设点M到抛物线的准线的距离为d,则
d=
x
1
+
x
2
2
+4
,…(4分)
∵
r=
1
2
|AB|=
x
1
+4+
x
2
+4
2
=
x
1
+
x
2
2
+4
=d,
∴抛物线的准线与以AB为直径的圆相切.…(6分)
(Ⅱ)由直线l:x=my+4得点P(4,0),∴Q(-4,0),
将直线l:x=my+4与抛物线的方程y
2
=2ax联立得y
2
-2amy-8a=0,
∵△>0恒成立,
y
1
+
y
2
=2am
y
1
y
2
=-8a
(*)
…(9分)
∴
k
1
+
k
2
=
y
1
x
1
+4
+
y
2
x
2
+4
=
y
1
(
x
2
+4)+
y
2
(
x
1
+4)
(
x
1
+4)(
x
2
+4)
=
y
1
(m
y
2
+8)+
y
2
(m
y
1
+8)
(
x
1
+4)(
x
2
+4)
…(11分)
即
k
1
+
k
2
=
2m
y
1
y
2
+8(
y
1
+
y
2
)
(
x
1
+4)(
x
2
+4)
,代入(*)得k
1
+k
2
=0,故k
1
+k
2
为定值得征.…(13分)
举一反三
已知直线l过点A(-6,7)与圆C:x
2
+y
2
-8x+6y+21=0相切,
(1)求该圆的圆心坐标及半径长
(2)求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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过点P(0,1)向圆x
2
+y
2
-4x-6y+12=0引切线,则切线长为______.
题型:不详
难度:
|
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直线
y=
3
4
x
与圆(x-1)
2
+(y+3)
2
=16的位置关系是( )
A.相交且过圆心
B.相交但不过圆心
C.相切
D.相离
题型:不详
难度:
|
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已知圆C:(x-1)
2
+(y+2)
2
=9,直线l:(m+1)x-y-2m-3=0(m∈R)
(1)求证:无论m取什么实数,直线恒与圆交于两点;
(2)求直线l被圆C所截得的弦长最小时的直线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知圆O:x
2
+y
2
=4,动点P(t,0)(-2≤t≤2),曲线C:y=3|x-t|.曲线C与圆O相交于两个不同的点M,N
(1)若t=1,求线段MN的中点P的坐标;
(2)求证:线段MN的长度为定值;
(3)若
t=
4
3
,m,n,s,p均为正整数.试问:曲线C上是否存在两点A(m,n),B(s,p)(11),使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k(k>1)?若存在请求出所有的点A,B;若不存在请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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