已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,圆C:(x-1)2+(y-2)2=25.(1)判断直线l和圆C的位置关系;(2)若直线l和圆C相交,求相交弦

已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,圆C:(x-1)2+(y-2)2=25.(1)判断直线l和圆C的位置关系;(2)若直线l和圆C相交,求相交弦

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已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,圆C:(x-1)2+(y-2)2=25.
(1)判断直线l和圆C的位置关系;
(2)若直线l和圆C相交,求相交弦长最小时m的值.
答案
(1)∵直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,
∴化简得m(2x+y-7)+x+y-4=0,
因此,直线l经过直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点M(3,1)
又∵(3-1)2+(1-2)2<25,
∴点E(3,1)在圆C的内部,可得直线l和圆C相交;
(2)假设直线l和圆C相交于点E,F,由相交弦长公式|EF|=2


25-d2

其中d为圆心C到直线l的距离,
根据垂径定理,当d最大时相交弦长最小,而由(1)知,
直线l过定点M(3,1),所以dmax=|CE|=


5

即CE⊥l,根据CE的斜率kCE=
2-1
1-3
=-
1
2

可得相交弦长最小时,l的斜率kl=-
2m+1
m+1
=2
,解之得m=-
3
4
举一反三
若圆x2+y2=r2(r>0)上仅有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是(  )
A.(0,


2
-1)
B.(


2
-1,


2
+1)
C.(


2
+1,+∞)
D.(0,


2
+1)
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如图,已知直线l:x=my+4(m∈R)与x轴交于点P,交抛物线y2=2ax(a>0)于A,B两点,坐标原点O是PQ的中点,记直线AQ,BQ的斜率分别为k1,k2
(Ⅰ)若P为抛物线的焦点,求a的值,并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系.
(Ⅱ)试证明:k1+k2为定值.
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已知直线l过点A(-6,7)与圆C:x2+y2-8x+6y+21=0相切,
(1)求该圆的圆心坐标及半径长
(2)求直线l的方程.
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过点P(0,1)向圆x2+y2-4x-6y+12=0引切线,则切线长为______.
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直线y=
3
4
x
与圆(x-1)2+(y+3)2=16的位置关系是(  )
A.相交且过圆心B.相交但不过圆心
C.相切D.相离
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