已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0的圆心为C,直线l:y=x+b,圆心C到坐标原点O的距离不大于圆C半径的2倍.(1)若b=4,求直线l被C所截
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已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0的圆心为C,直线l:y=x+b,圆心C到坐标原点O的距离不大于圆C半径的2倍. (1)若b=4,求直线l被C所截得弦长的最大值; (2)若直线l是圆心C下方的圆的切线,求b的取值范围. |
答案
(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a, ∵圆心C到坐标原点O的距离不大于圆C半径的2倍. ∴a≤2×2,∴0<a≤8, 则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2. 直线l的方程化为:x-y+4=0.则圆心C到直线l的距离是==×|2-a|. 设直线l被圆C所截得弦长为L,由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是: L=2=2=2 ∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2. (2)因为直线l与圆C相切,则有=2,即|b-2a|=2. 又点C在直线l的上方,∴a>-a+b,即2a>b. ∴2a-b=2,∴b=(-1)2-1. ∵0<a≤8,∴0<≤4, ∴b∈[-1,8]. b的取值范围是[-1,8]. |
举一反三
已知P是直线3x+4y+12=0上的动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2x=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值. |
已知圆C:x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求m的值. |
已知圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,P点坐标为(2,3),求过P点的圆的切线方程以及切线长. |
已知直线l:mx+y-m=0交圆C:x2+y2-4x-2y=0于A,B两点,当|AB|最短时,直线l的方程是( )A.x+y-1=0 | B.x-y-1=0 | C.x-y+1=0 | D.x+y+2=0 |
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过点P(0,-1)作圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的切线 (1)求点P到切点A的距离|PA|; (2)求切线的方程. |
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