已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=m,点A(4,6),B(s,t).(1)若3s-4t=-12,且直线AB被圆C截得的弦长为4,求m的值;(2)若s,t为正
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已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=m,点A(4,6),B(s,t). (1)若3s-4t=-12,且直线AB被圆C截得的弦长为4,求m的值; (2)若s,t为正整数,且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ(λ>1),求m的值. |
答案
(1)因为A(4,6),B(s,t). 由3s-4t=-12,说明点B(s,t)适合直线3x-4y=-12, 由把A(4,6)代入直线3x-4y=-12成立,所以A,B共线3x-4y=-12, 则圆心(2,2)到直线3x-4y=-12的距离为d==2, 又直线AB被圆C截得的弦长为4, 根据垂径定理知:m=22+22=8; (2)设P(x,y)为圆C:(x-2)2+(y-2)2=m上任意一点, 则(x-4)2+(y-6)2 | (x-s)2+(y-t)2 | =λ2, 整理得:(1-λ2)x2+(1-λ2)y2-(8-2λ2s)x-(12-2λ2t)y+52-λ2s2-λ2t2=0, 则该圆的方程即为(x-2)2+(y-2)2=m, 所以①,整理得:λ2(t-s)=2, 因为s,t为正整数,且λ>1,所以t-s=≤1, 若t-s为小于等于0的整数,则λ2(t-s)=2不成立,所以,t-s=1. 则λ2=2.代入①得:s=3,t=4. 把λ2=2,s=3,t=4代入方程(1-λ2)x2+(1-λ2)y2-(8-2λ2s)x-(12-2λ2t)y+52-λ2s2-λ2t2=0, 得:(x-2)2+(y-2)2=10. 所以m=10. |
举一反三
(1)求过(-1,2),斜率为2的直线的参数方程. (2)若直线3x+4y+m=0与圆(θ为参数)没有公共点,求实数m的取值范围. |
在平面直角坐标系xoy中,曲线c1,c2的参数方程分别为(θ为参数,0≤θ≤)和(t为参数),则曲线c1与c2的交点坐标为______. |
(选做题在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),曲线P在以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2-4ρcosθ+3=0. (1)求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程; (2)设曲线C和曲线P的交点为A、B,求|AB|. |
已知在直角坐标系xoy中,直线l过点P(1,-5),且倾斜角为,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,半径为4的圆C的圆心的极坐标为(4,). (Ⅰ)写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系. |
已知F(c,0)是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,若双曲线C的渐近线与圆E:(x-c)2+y2=c2相切,则双曲线C的离心率为______. |
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