已知圆O:x2+y2=1,点P在直线l:2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A,B为两切点.(1)求切线长PA的最小值,并求此时点P的坐标;(2)点M为

已知圆O:x2+y2=1,点P在直线l:2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A,B为两切点.(1)求切线长PA的最小值,并求此时点P的坐标;(2)点M为

题型:不详难度:来源:
已知圆O:x2+y2=1,点P在直线l:2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A,B为两切点.
(1)求切线长PA的最小值,并求此时点P的坐标;
(2)点M为直线y=x与直线l的交点,若在平面内存在定点N(不同于点M),满足:对于圆 O上任意一点Q,都有
QN
QM
为一常数,求所有满足条件的点N的坐标.
(3)求


PA


PB
的最小值.
答案
(1)由勾股定理得:|PO|2=R2+|PA|2,半径R=1,所以要求|PA|最小,就是求|PO|最短,
而|PO|最短时,OP垂直于直线2x+y-3=0,所以最短|OP|=
|0+0-3|


4+1
=
3


5

所以|PA|2=|PO|2-R2=
4
5

即|PA|最小时,|PA|=
2


5
5

直线2x+y-3=0的斜率是k=-2,则PO的斜率是k"=
1
2
,所以OP方程是y=
x
2

将方程y=
x
2
与直线2x+y-3=0联立,解得:x=
6
5
,故有y=
3
5
,即点P坐标是(
6
5
3
5
);
(2)由直线y=x与直线l:2x+y-3=0联立,可得交点坐标M(1,1),设Q(m,n),N(x,y)
QN
QM
=


(x-m)2+(y-n)2


(m-1)2+(n-1)2
(λ≠1)
∴m(2λ-2x)+n(2λ-2y)+x2+y2-3λ+1=0
∵对于圆 O上任意一点Q,都有
QN
QM
为一常数,





2λ-2x=0
2λ-2y=0
x2+y2-3λ+1=0
,解得x=y=λ=
1
2

∴N(
1
2
1
2

(3)由题意,四点P,A,O,B共圆,当且仅当圆与直线相切时,|PA|最小,∠APB最大,


PA


PB
取得最小值
由(1)知P坐标是(
6
5
3
5
);
设A(a,b),则过A的切线方程为:ax+by=1,将(
6
5
3
5
)代入可得
6
5
a+
3
5
b=1

∵a2+b2=1
∴a=
10+


10
15
,b=
5-2


10
15
,或a=
10-


10
15
,b=
5+2


10
15



PA


PB
=(
10+


10
15
-
6
5
5-2


10
15
-
3
5
)•(
10-


10
15
-
6
5
5+2


10
15
-
3
5
)=-
4
45
举一反三
直线y=kx-1和圆x2+y2=


2
的位置关系必定是(  )
A.相离B.相交C.相切D.相交或相切
题型:不详难度:| 查看答案
若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,求k的取值范围?
题型:不详难度:| 查看答案
若直线3x+4y+m=0与圆  





x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数)至少有一个公共点,则实数m的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
点P(x,y)满足:x2+y2-4x-2y+4=0,则点P到直线x+y-1=0的最短距离是(  )
A.


2
B.0C.


2
-1
D.


2
+1
题型:不详难度:| 查看答案
当a>0时,直线:x-a2y-a=0与圆:(x-a)2+(y-
1
a
)2=1
的位置关系是(  )
A.相交B.相切C.相离D.相切或相离
题型:吉安二模难度:| 查看答案
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