已知圆C同时满足下列三个条件:①圆心在直线x-3y=0上; ②与y轴相切;③在x轴上截得的弦长AB为42.求圆C的一般方程.

题型：不详难度：来源：

已知圆C同时满足下列三个条件:①圆心在直线x-3y=0上;
②与y轴相切;③在x轴上截得的弦长AB为42.求圆C的一般方程.

答案

圆的一般方程为x²+y²+6x+2y+1=0或x²+y²-6x-2y+1="0."

解析

设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,则圆心为,半径为,
∵圆心在直线x-3y=0上,∴,即D=3E.①
又∵圆与y轴相切,∴,即E²-4F=0.②
圆的方程中令y=0,得x²+Dx+F=0,
设A(x₁,0),B(x₂,0),
依题意|x₁-x₂|=42即(x₁-x₂)²=32,∴(x₁+x₂)²-4x₁x₂=32.∴D²-4F=32.③
由①②③解得D=6,E=2,F=1或D=-6,E=-2, F=1,
故所求圆的一般方程为x²+y²+6x+2y+1=0或x²+y²-6x-2y+1=0.