已知椭圆E的方程是x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左顶点为(-2,0),离心率e=12.(1)求椭圆E的方程;(2)已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l

已知椭圆E的方程是x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左顶点为(-2,0),离心率e=12.(1)求椭圆E的方程;(2)已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l

题型:不详难度:来源:
已知椭圆E的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),其左顶点为(-2,0),离心率e=
1
2

(1)求椭圆E的方程;
(2)已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l交椭圆E于A、B两点,若椭圆上存在一点P,使


OP
=λ(


OA
+


OB
),试求λ的值.
答案
(1)由已知得a=2,e=
c
a
=
1
2
,∴c=1,b=


a2-c2
=


3

∴椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1.
(2)由(1)得右焦点F(1,0),因此直线l的方程为y=x-1.
代入椭圆方程并整理得7x2-8x-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
8
7

∴y1+y2=(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-
6
7



OP
=λ(


OA
+


OB
)=λ(x1+x2,y1+y2)=λ(
8
7
,-
6
7
),
∴P点坐标为(
7
,-
7
),
代入椭圆方程,可得
(
7
)
2
4
+
(-
7
)
2
3
=1,
λ2=
7
4
,解得λ=±


7
2
举一反三
若方程
x2
m
+
y2
2-m2
=1
表示椭圆,则实数m的取值范围是______.
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若曲线
x2
k
+
y2
1+k
=1
表示椭圆,则k的取值范围是______.
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已知a=6,c=1,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是______.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为


3
2
,过点M(-1,0)的直线l与椭圆交于P、Q两点.
(1)若直线l的斜率为1,且


PM
=-
3
5


QM
,求椭圆的标准方程;
(2)若(1)中椭圆的右顶点为A,直线l的倾斜角为α,问α为何值时,


AP


AQ
取得最大值,并求出这个最大值.
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已知中心在原点的椭圆的一个焦点为(0,


2
),且过点A(1,


2
)
,过A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:直线BC的斜率为定值,并求这个定值.
(3)求三角形ABC的面积最大值.
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