设F1，F2分别是椭圆：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|=43a．（Ⅰ）求该椭

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设F1，F2分别是椭圆：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|=43a．（Ⅰ）求该椭

题型：不详难度：来源：
设F1，F2分别是椭圆：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|=
4
3
a．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点M（0，-1）满足|MP|=|MQ|，求该椭圆的方程．
答案
（Ⅰ）由直线PQ斜率为1，可设直线l的方程为y=x+c，其中c=


a2-b2
．…（2分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则两点坐标满足方程组





y=x+c
x2
a2 
+
y2
b2
=1

消去y，整理得（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2-b2）=0，
可得：





x1+x2=
-2a2c
a2+b2
x1x2=
a2(c2-b2)
a2+b2

∵|PQ|=
4
3
a，∴


2
|x1-x2|=
4
3
a
由此可得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(
2


2
3
a)2
即（
-2a2c
a 2+b2
）2-4（
a2(c2-b2)
a 2+b2
）2=
8a2
9
．…（6分）
整理，得a2=2b2，a=


2
b
∴椭圆的离心率e=
c
a
=


a2-b2
a2
=


2
2
．…（8分）
（Ⅱ）设PQ 中点为N（x0，y0），由（1）知
x0=
x1+x2
2
=
-a2c
a 2+b2
=-
2c
3
，y0=x0+c=
1
3
c．
由|MP|=|MQ|，得MN与直线y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）
∴
y0+1
x0
=-1，即
1
3
c+1
-
2c
3
=-1，解得c=3，从而a=3


2
，b=3．
因此，椭圆的方程为
x2
18
+
y2
9
=1…（12分）
举一反三
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的离心率为


5
3
，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
题型：西城区一模难度：| 查看答案
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2，0），离心率为


2
2
，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为


10
3
时，求k的值．
题型：北京难度：| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点(-
1
2
，-2)．
题型：不详难度：| 查看答案
已知椭圆C短轴的一个端点为（0，1），离心率为
2


2
3
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长．
题型：不详难度：| 查看答案
已知椭圆的中心为原点，离心率e=


3
2
，且它的一个焦点与抛物线x2=-4


3
y的焦点重合，则此椭圆方程为______．
题型：不详难度：| 查看答案
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