已知F1，F2分别是椭圆C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|M

试题库

已知F1，F2分别是椭圆C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|M

题型：梅州一模难度：来源：
已知F1，F2分别是椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．
答案
（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（1，0）．
设M（x0，y0）（x0＜0），由点M在抛物线上，
∴|MF1|=
5
3
=y0+1，
x20
=4y0，解得y0=
2
3
，x0=-
2


6
3
．
而点M在椭圆C1上，∴
(
2
3
)2
a2
+
(-
2


6
3
)2
b2
=1，化为
4
9a2
+
8
3b2
=1，
联立





c2=1=a2-b2
4
9a2
+
8
3b2
=1
，解得





a2=4
b2=3
，
故椭圆的方程为
y2
4
+
x2
3
=1．
（2）由（1）可知：|AO|=


3
，|BO|=2．设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，
把y=kx代人
y2
4
+
x2
3
=1，可得x2=-x1=
2


3


3k2+4
，x2＞0，y2=-y1＞0，且4
x22
+3
y22
=12．
S△BOE=S△BOF=
1
2
×2x2，S△AOF=S△AOE=
1
2
×


3
y2，
故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF=2x2+


3
y2=


(2x2+


3
y2)2

=


4
x22
+3
y22
+4


3
y1y2
≤


4
x22
+3
y22
+2×
(2x2)2+(


3
y2)2
2
=2


6
．
当且仅当2x2=


3
y2时上式取等号．
∴四边形AEBF面积的最大值为2


6
．
举一反三
已知点A、B分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=


2
2
．三角形ABC的面积为


2
，动直线l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足


OM
+


ON
=λ


OP
（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ=


2
时，求△MNO面积．
题型：和平区二模难度：| 查看答案
已知△ABC中，点A、B的坐标分别为(-


2
，0)，B(


2
，0)，点C在x轴上方．
（1）若点C坐标为(


2
，1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）过点P（m，0）作倾角为
3
4
π的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．
题型：蚌埠二模难度：| 查看答案
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为


2
2
，且过点(2，


2
)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：
1
|MN|
+
1
|PQ|
为定值．
题型：东城区一模难度：| 查看答案
已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x2+y2=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）
题型：不详难度：| 查看答案
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)两个焦点为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2为正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，直线F1A上有一动点P，求|PF2|+|PO|的最小值．
题型：不详难度：| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.