已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞0b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+6

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已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞0b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+6

题型：太原一模难度：来源：
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0b＞0)的离心率为
1
2
，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+


6
=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点F2的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△Fl MN面积最大时直线l的方程．
答案
（I）由题意得





e=
c
a
=
1
2
b=


6


1+1
a2=b2+c2
，解得





a=2
b=


3
c=1
，
所以椭圆C的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为x=my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），则点M、N的坐标是方程组





x=my+1
x2
4
+
y2
3
=1
的两组解，
消掉x得，（3m2+4）y2+6my-9=0，所以





△＞0
y1+y2=
-6m
3m2+4
y1y2=
-9
3m2+4
，
所以S△F1MN=
1
2
|F1F2||y1-y2|=


(y1+y2)2-4y1y2

=
12


m2+1
3m2+4
=
12
3m2+4


m2+1
=
12
3


m2+1
+
1


m2+1
≤
12
4
=3（当且仅当m=0时取等号），
所以当m=0时，S△ABC取最大值，此时直线l的方程为x=1．
举一反三
已知F1，F2分别是椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．
题型：梅州一模难度：| 查看答案
已知点A、B分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=


2
2
．三角形ABC的面积为


2
，动直线l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足


OM
+


ON
=λ


OP
（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ=


2
时，求△MNO面积．
题型：和平区二模难度：| 查看答案
已知△ABC中，点A、B的坐标分别为(-


2
，0)，B(


2
，0)，点C在x轴上方．
（1）若点C坐标为(


2
，1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）过点P（m，0）作倾角为
3
4
π的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．
题型：蚌埠二模难度：| 查看答案
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为


2
2
，且过点(2，


2
)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：
1
|MN|
+
1
|PQ|
为定值．
题型：东城区一模难度：| 查看答案
已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x2+y2=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）
题型：不详难度：| 查看答案
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