已知椭圆C的焦点F1（-22，0）和F2（22，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C的焦点F₁（-2

，0）和F₂（2

，0），长轴长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

答案

（1）设椭圆C的方程为：

=1(a＞b＞0)，
由题意知，2a=6，c=2

，∴a=3，b²=a²-c²=9-8=1，
椭圆C的标准方程为：

+y2=1；
（2）由

+y2=1

y=x+2

，得10x²+36x+27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

，
∴线段AB中点横坐标为-

，代入方程y=x+2得y=-

+2=

，
故线段AB中点的坐标为（-

，

）．

举一反三

求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为12，离心率为

的椭圆；
（2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线

=1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(

，

)，求抛物线与双曲线的方程．

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已知F₁（-1，0），F₂（1，0），点p满足|

1|+|

2|=2

，记点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F₂（1，0）作直线l与轨迹E交于不同的两点A、B，设

F2A

=λ

F2B

，T（2，0），，若λ∈[-2，-1]，求|

|的取值范围．

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若椭圆

=1与双曲线x2-

=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P(

，y)，求椭圆及双曲线的方程．

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已知F₁（-1，0）、F₂（1，0）为椭圆的焦点，且直线x+y-

=0与椭圆相切．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过F₁的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积S的最大值，并求此时直线的方程．

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已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

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