已知F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1,(a>b>0)的左焦点和右焦点,O是坐标系原点,且椭圆C的焦距为6,过F1的弦AB两端点A、B与F2所成△A

已知F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1,(a>b>0)的左焦点和右焦点,O是坐标系原点,且椭圆C的焦距为6,过F1的弦AB两端点A、B与F2所成△A

题型:不详难度:来源:
已知F1、F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
的左焦点和右焦点,O是坐标系原点,且椭圆C的焦距为6,过F1的弦AB两端点A、B与F2所成△ABF2的周长是12


2

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆C上不同的两点,线段PQ的中点为M(2,1),求直线PQ的方程.
答案
(1)设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
的焦距为2c,
∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
的焦距为2,∴2c=6,即c=3,
又∵F1、F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
的左焦点和右焦点,且过F1的弦AB两端点A、B与F2所成△ABF2的周长是12


2

∴△ABF2的周长=AB+(AF2+BF2)=(AF1+BF1)+(AF2+BF2)=4a=12


2
,解得a=3


2

又∵a2=b2+c2,∴b2=18-9=9,
∴椭圆C的方程是
x2
18
+
y2
9
=1

(2)∵点P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆C上不同的两点,
x12
18
+
y12
9
=1
x22
18
+
y22
9
=1

以上两式相减得:
x12-
x22
18
+
y12-
y22
9
=0

x12-
x22
+2(y12-
y22
)=0
(x1-
x 2
)(x1+
x 2
)+2(y1-
y 2
)(y1+
y 2
)=0

∵线段PQ的中点为M(2,1),∴x1+
x 2
=4, y1+
y 2
=2

4(x1-
x 2
)+4(y1-
y 2
)=0

当x1=x2,由上式知,y1=y2则P,Q重合,与已知矛盾,因此x1≠x2
y1-
y 2
x1-
x 2
=-1
,即直线PQ的斜率为-1,
∴直线PQ的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
举一反三
求下列各曲线的标准方程
(1)长轴长为12,离心率为
2
3
,焦点在x轴上的椭圆;
(2)双曲线 c1:9x2-16y2=576,双曲线c2与c1有共同的渐近线若c2过点(1,2)求c2的标准方程.
题型:不详难度:| 查看答案
设椭圆C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为


2
2
,其一个顶点的坐标是(1,0).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若斜率为2的直线l过椭圆C在y轴正半轴上的焦点,且与该椭圆交于A、B两点,求AB的中点坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,且经过点A (-1,
3
2
);
(1)求满足条件的椭圆方程;
(2)求该椭圆的顶点坐标,长轴长,短轴长,离心率.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,焦距为6


3
,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知离心率为
4
5
的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上.双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2


34
.求椭圆及双曲线的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
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