已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且过点(22,32).(I)求椭圆的方程;(II)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为原点,
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且过点(22,32).(I)求椭圆的方程;(II)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为原点,
题型:泰安二模
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a
>b>0)的离心率为
2
2
,且过点
(
2
2
,
3
2
)
.
(I)求椭圆的方程;
(II)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为原点,F为椭圆的右焦点),是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,使|AC|=|BC|,并说明理由.
答案
(I)由题意,
a
2
-
b
2
a
2
=
1
2
1
2
a
2
+
3
4
b
2
=1
,∴
a
2
=2
b
2
=1
,∴椭圆的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
;
(II)设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为:y=k(x-2)代入椭圆方程,消去y可得
(1+2k
2
)x
2
-8k
2
x+8k
2
-2=0,则△=16k
4
-4(1+2k
2
)(8k
2
-2)=-16k
2
+8>0,∴k
2
<
1
2
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=
8
k
2
1+2
k
2
,y
1
+y
2
=-
4k
1+2
k
2
∴AB的中点的坐标为(
4
k
2
1+2
k
2
,-
2k
1+2
k
2
)
∴AB的垂直平分线的方程为y+
2k
1+2
k
2
=-
1
k
(x-
4
k
2
1+2
k
2
)
将点C(m,0)代入可得0+
2k
1+2
k
2
=-
1
k
(m-
4
k
2
1+2
k
2
)
∴m=
2
k
2
1+2
k
2
∵0<m<2
∴
0<
2
k
2
1+2
k
2
<2
恒成立
∴存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,使|AC|=|BC|.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左焦点为F
1
(-1,0),且点P(0,1)在C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知直线l的斜率为2且经过椭圆C的左焦点.求直线l与该椭圆C相交的弦长.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知F
1
、F
2
分别是椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1,(a>b>0)
的左焦点和右焦点,O是坐标系原点,且椭圆C的焦距为6,过F
1
的弦AB两端点A、B与F
2
所成△ABF
2
的周长是
12
2
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)是椭圆C上不同的两点,线段PQ的中点为M(2,1),求直线PQ的方程.
题型:不详
难度:
|
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求下列各曲线的标准方程
(1)长轴长为12,离心率为
2
3
,焦点在x轴上的椭圆;
(2)双曲线 c
1
:9x
2
-16y
2
=576,双曲线c
2
与c
1
有共同的渐近线若c
2
过点(1,2)求c
2
的标准方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设椭圆C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为
2
2
,其一个顶点的坐标是(1,0).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若斜率为2的直线l过椭圆C在y轴正半轴上的焦点,且与该椭圆交于A、B两点,求AB的中点坐标.
题型:不详
难度:
|
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椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,且经过点A (-1,
3
2
);
(1)求满足条件的椭圆方程;
(2)求该椭圆的顶点坐标,长轴长,短轴长,离心率.
题型:不详
难度:
|
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