椭圆G：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0），M是椭圆上一点．（1）若M的坐标为（2，0），椭圆的离心率e=32，求a

题型：不详难度：来源：

椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆上一点．
（1）若M的坐标为（2，0），椭圆的离心率e=

3

2

，求a，b的值；
（2）若

F1M

•

F2M

=0．
①求椭圆的离心率e的取值范围；
②当椭圆的离心率e取最小值时，点N（0，3）椭圆上的点的最远距离为5

2

，求此时椭圆G的方程．

答案

（1）由椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）及椭圆上的一点M的坐标为（2，0）
可知a=2，
又

c

a

=

3

2

，∴c=

3

，b=1，∴椭圆的方程为 

x2

4

+y2=1．
（2）①设M（x₀，y₀），
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1
∵

F1M

•

F2M

=0，
∴（x₀+c，y₀）•（x₀-c，y₀）=0，

x

20

=a2(2-

a2

c2

)，
∵0≤x₀≤a²
∴0≤a2(2-

a2

c2

)≤a2，解得  e2≥

1

2

．
∴e∈[

2

2

，1)
②当e=

2

2

时，设椭圆G的方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1
设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|²；；=x²+（y-3）²；；=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得   b=-3±5

2

 （舍去），
若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，∴所求的椭圆的方程为   

x2

32

+

y2

16

=1．