已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M(1，32)，其离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，

题型：海淀区一模难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M(1，

3

2

)，其离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．

答案

（Ⅰ）由已知，e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，
所以3a²=4b²，①（1分）
又点M(1，

3

2

)在椭圆C上，
所以

1

a2

+

9

4b2

=1，②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）当直线l有斜率时，设y=kx+m时，
则由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1.

消去y得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，③
设A、B、P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
则：x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

，
由于点P在椭圆C上，所以

x 20

4

+

y 20

3

=1．
从而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化简得4m²=3+4k²，经检验满足③式．
又点O到直线l的距离为：d=

|m|

1+k2

=

3 4 +k2

1+k2

=

1- 1 4(1+k2)

≥

1- 1 4

=

3

2

．
当且仅当k=0时等号成立，
当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而P点为（-2，0），（2，0），直线l为x=±1，所以点O到直线l的距离为1，
所以点O到直线l的距离最小值为

3

2

．