在直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若，求k的值；（3）若点A在第一

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在直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若，求k的值；
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有．

答案

解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴，
故曲线C的方程为．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足
消去y并整理得（k²+4）+2kx﹣3=0，
故．
若，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x²+k（x₁+x₂）+1，
于是，
化简得﹣4k²+1=0，
所以．
（Ⅲ）因为A（x₁，y₁）在椭圆上，
所以满足y²=4（1﹣），y₁²=4（1﹣x₁²），
=（x₁²﹣x₂²）+4（1﹣x₁²﹣1+x₂²）
=﹣3（x₁﹣x₂）（x₁+x₂）=．
因为A在第一象限，故x₁＞0．
由知＜0，
从而x₁﹣x₂＞0．
又k＞0，
故，
即在题设条件下，恒有．