如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。(Ⅰ)求椭圆C的方程

如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。(Ⅰ)求椭圆C的方程

题型:浙江省高考真题难度:来源:
如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求△ABP的面积取最大时直线l的方程
答案
解:(Ⅰ)由题:; (1)
左焦点(-c,0)到点P(2,1)的距离为:(2)
由(1)(2)可解得:
∴所求椭圆C的方程为:
(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,
设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0
其中y0x0
∵A,B在椭圆上,

设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),
代入椭圆:
显然
∴﹣<m<且m≠0
由上又有:=m,
∴|AB|=||=
∵点P(2,1)到直线l的距离为:
∴S△ABPd|AB|=|m+2|
当|m+2|=,即m=-3 or  m=0(舍去)时,
(S△ABP)max=
此时直线l的方程y=-
举一反三
已知椭圆的左右焦点分别为,点M(0,2)是椭圆的一个顶点,△是等腰直角三角形。 (1)求椭圆的方程;
(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两条直线的斜率分别为,且,证明:直线AB过定点。
题型:四川省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆C:的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为[     ]
A.
B.
C.
D.
题型:山东省高考真题难度:| 查看答案
如图,分别是椭圆 的左,右焦点,过点轴的垂线交椭圆的上半部分于点,过点作直线的垂线交直线于点
(I)若点的坐标为;求椭圆的方程;
(II)证明:直线与椭圆只有一个交点。
题型:安徽省高考真题难度:| 查看答案
设椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆C上的一点,,坐标原点O到直线AF1的距离为. (1)求椭圆C的方程;
(2)设Q是椭圆C上的一点,过点Q的直线l 交x 轴于点,交y 轴于点M,若,求直线l 的斜率.
题型:江西省模拟题难度:| 查看答案
如图,椭圆的离心率为,直线所围成的矩形ABCD的面积为8。
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T,求的最大值及取得最大值时m的值。
题型:山东省高考真题难度:| 查看答案
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