已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点。(1)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线; (2)当直线FH
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已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点。(1)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线; (2)当直线FH
题型:北京高考真题
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已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点。
(1)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;
(2)当直线FH与OB平行时,求顶点C的轨迹。
答案
解:(1)由△OBC三顶点坐标O(0,0),B(1,0),C(b,c)(c≠0),可求得
重心
,外心F
,垂心
当
时,G,F,H三点的横坐标均为
,故三点共线;
当
时,设G,H所在直线的斜率为
,F,G所在直线的斜率为
因为
,
,
所以
,G,F,H三点共线。
综上可得,G,F,H三点共线。
(2)若FH//OB,由
,得
,
配方得
,即
即
因此,顶点C的轨迹是中心在(
,0),长半轴长为
,短半轴长为
,
且短轴在x轴上的椭圆,除去(0,0),(1,0),(
,
),(
,-
)四点。
举一反三
已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点,
(Ⅰ)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;
(Ⅱ)当直线FH与OB平行时,求顶点C的轨迹。
题型:北京高考真题
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已知椭圆的方程为
,点P(a,b)的坐标满足
,过点P的直线l与椭圆交于A、B两点,点Q为线段AB的中点,求:
(Ⅰ)点Q的轨迹方程;
(Ⅱ)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
题型:上海高考真题
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如图,A
1
,A为椭圆的两个顶点,F
1
,F
2
为椭圆的两个焦点。
(1)写出椭圆的方程及准线方程;
(Ⅱ)过线段OA上异于O,A的任一点K作OA的垂线,交椭圆于P,P
1
两点,直线A
1
P与AP
1
交于点M,求证:点M在双曲线
上。
题型:北京高考真题
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(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?
(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小? (半个椭圆的面积公式为
,柱体体积为:底面积乘以高。本题结果精确到0.1米)。
题型:上海高考真题
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设中心在原点的椭圆与双曲线2x
2
-2y
2
=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是( )。
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