解:(Ⅰ)设点A、B的坐标分别为,点Q的坐标为Q(x,y), 当时,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-a)+b, 由已知, (1) ,(2) 由(1)得, (3) 由(2)得, (4) 由(3)、(4)及, 得点Q的坐标满足方程, (5) 当时,k不存在,此时l平行于y轴,因此AB的中点Q一定落在x轴上,即Q的坐标为(a,0)显然点Q的坐标满足方程(5); 综上所述,点Q的坐标满足方程, 设方程(5)所表示的曲线为L, 则由得, 因为,由已知, 所以当时,△=0,曲线L与椭圆C有且只有一个交点P(a,b); 当时,△<0,曲线L与椭圆C没有交点, 因为(0,0)在椭圆C内,又在曲线L上, 所以曲线L在椭圆C内,故点Q的轨迹方程为。 (Ⅱ)由,解得曲线L与y轴交于点(0,0),(0,b); 由,解得曲线L与x轴交于点(0,0),(a,0), 当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点时,(a,0)、(0,b)与(0,0)重点,曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0); 当a=0且,即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时,点(a,0)与(0,0)重合,曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0); 同理,当b=0且,即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时,曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0); 当,即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时,曲线L与坐标轴有三个交点(a,0)、(0,b)与(0,0)。 |