设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆（a＞b＞0）上的两点，已，，若且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点。（1）求椭圆的方程；（2）试问：△AOB

题型：0108 模拟题难度：来源：

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆（a＞b＞0）上的两点，已，，若且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点。
（1）求椭圆的方程；
（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

答案

解：（1）
椭圆的方程为。
（2）①当直线AB斜率不存在时，即
由得
又在椭圆上
所以

所以三角形的面积为定值。
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

得到，
代入整理得



所以三角形的面积为定值。