设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;
题型:湖北难度:来源:
设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由. |
答案
(Ⅰ)解法一:依题意,可设直线AB的方程为y=k(x-1)+3, 代入3x2+y2=λ,整理得:(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0① 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根, ∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0,② 且x1+x2=.由N(1,3)是线段AB的中点,得x1+x2=2, ∴k(k-3)=k2+3解得k=-1,代入②得λ>12, 即λ的取值范围是(12,+∞). 于是直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则有⇒3 (x1-x2) (x1+x2)+(y1-y2)=0. 依题意,x1≠x2,∴kAB=-. ∵N(1,3)是AB的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=6,从而kAB=-1. 又由N(1,3)在椭圆内,∴λ>3×12+32=12, ∴λ的取值范围是(12,+∞). 直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0. (Ⅱ)解法一:∵CD垂直平分AB, ∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4-λ=0.③ 又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为M(x0,y0), 则x3,x4是方程③的两根, ∴x3+x4=-1,且x0==-,y0=x0+2=,即M(-,) 于是由弦长公式可得|CD|=•|x3-x4|=.④ 将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x2-8x+16-λ=0.⑤ 同理可得|AB|=•|x1-x2|=.⑥ ∵当λ>12时,>, ∴|AB|<|CD|. 假设存在λ>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心. 点M到直线AB的距离为d===.⑦ 于是,由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+||2=+==||2. 故当λ>12时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,||为半径的圆上. (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得: A、B、C、D共圆⇔ACD为直角三角形,A为直角⇔|AN|2=|CN|•|DN|, 即()2=(||+d)(||-d).⑧ 由⑥式知,⑧式左边=, 由④⑦知,⑧式右边=(+)(-)=-=. ∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆.) 解法二:由(Ⅱ)解法一知λ>12, ∵CD垂直平分AB, ∴直线CD的方程为y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4-λ=0.③ 将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤ 解③和⑤式可得x1,2=,x3,4=, 不妨设A(1+,3-), C(,),D(,). ∴=(,), =(,), 计算可得•=0, ∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点, ∴A、B、C、D四点共圆. |
举一反三
已知F1(-3,0)、F2(3,0)是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,当∠F1PF2=时,△F1PF2的面积最大,则有( )A.m=12,n=3 | B.m=24,n=6 | C.m=6,n= | D.m=12,n=6 | 从椭圆+=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM. (1)求椭圆的离心率; (2)若Q是椭圆上任意一点,F2是右焦点,求∠F1QF2的取值范围; (3)过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点,若|CD|=3,求椭圆的方程. | 设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点. (Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求•的最大值和最小值; (Ⅱ)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由. | 设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C的方程; (2)椭圆C上一动点P(x0,,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,,求3x1-4y1的取值范围. | 我国计划发射火星探测器,该探测器的运行轨道是以火星(其半径R=34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆.如图,已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里,远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨,其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长,求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里). |
最新试题
热门考点
|