已知椭圆C1:的离心率为,一个焦点坐标为.(1)求椭圆C1的方程;(2)点N是椭圆的左顶点,点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点,连接NP并延长交椭圆右准线与点

已知椭圆C1:的离心率为,一个焦点坐标为.(1)求椭圆C1的方程;(2)点N是椭圆的左顶点,点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点,连接NP并延长交椭圆右准线与点

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已知椭圆C1的离心率为,一个焦点坐标为
(1)求椭圆C1的方程;
(2)点N是椭圆的左顶点,点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点,连接NP并延长交椭圆右准线与点T,求的取值范围;
(3)设曲线与y轴的交点为M,过M作两条互相垂直的直线与曲线C2、椭圆C1相交于点A、D和B、E,(如图),记△MAB、△MDE的面积分别是S1,S2,当时,求直线AB的方程.
答案
解:(1)∵椭圆C1的离心率为
一个焦点坐标为
,∴a=2,c=,b=
∴椭圆C1的方程为:
(2)∵N是椭圆C1的左顶点,点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点,
∴N(﹣2,0),椭圆右准线:x=
设P(x,y),则=
∵﹣2≤x≤2,∴=∈[,+∞).
的取值范围是[,+∞).
(3)设直线MA的斜率为k1,则直线MA的方程为y=k1x﹣1.
,解得,或
则点A的坐标为(k1,k12﹣1).
又直线MB的斜率为﹣,同理可得点B的坐标为(﹣).
于是S1=|MA||MB|=|k1||﹣|=
,得(1+4k12)x2﹣8k1x=0.
解得,或
则点D的坐标为().
又直线ME的斜率为﹣
同理可得点E的坐标为().
于是S2=|MD||ME|=
=
解得k12=2,或k12=
又由点A,B的坐标得,k==k1
所以k=±
故满足条件的直线存在,且有两条,
其方程为y=x和y=﹣
举一反三
已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线
(I)求椭圆E的方程;
(II)过点C(﹣1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上是否存在点M,使恒为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点,离心率是
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点C(﹣1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上是否存在点M,使恒为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
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如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程。
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已知椭圆C:的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的横坐标为,求斜率k的值;
②已知点,求证:为定值.
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