若F1、F2分别是椭圆在左、右焦点,P是该椭圆上的一个动点,且.(1)求出这个椭圆的方程;(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,使
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若F1、F2分别是椭圆在左、右焦点,P是该椭圆上的一个动点,且.(1)求出这个椭圆的方程;(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,使
题型:河北省模拟题
难度:
来源:
若F
1
、F
2
分别是椭圆
在左、右焦点,P是该椭圆上的一个动点,且
.
(1)求出这个椭圆的方程;
(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,使∠AOB=90°(其中O为坐标原点)?若存在,求出直线l的斜率k,若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)依题意,∵
∴2a=4,2c=2
,
∴a=2,c=
,∴
∴椭圆的方程为
;
(2)显然当直线的斜率不存在时,不满足题设条件,
设方程为y=kx+2,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
联立方程组
,
消元可得(1+4k
2
)x
2
+16kx+12=0
∴x
1
+x
2
=
,
由△=256k
2
﹣4(1+4k
2
)×12>0,
可得
①
∵∠AOB=90°,∴
∴
∴k
2
=4 ②
①②可得,k=±2
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,经过点
且斜率为k的直线l与椭圆
有两个不同的交点P和Q.
(I)求k的取值范围;
(II)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量
与
共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.
题型:福建省月考题
难度:
|
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在直角坐标系xOy中,椭圆C
1
:
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
.F
2
也是抛物线C
2
:y
2
=4x的焦点,点M为C
1
与C
2
在第一象限的交点,且|MF
2
|=
.
(Ⅰ)求C
1
的方程;
(Ⅱ)平面上的点N满足
,直线l∥MN,且与C
1
交于A,B两点,若
,求直线l的方程.
题型:云南省模拟题
难度:
|
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已知椭圆C:
的左焦点为F(﹣1,0),离心率为
,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
题型:北京月考题
难度:
|
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如图,已知点B是椭圆
(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过B作斜率为1的直线交椭圆于点M,点P在y轴上,且PM∥x轴,
·
=9,若点P的坐标为(0,t),则t的取值范围是
[ ]
A.0<t<3
B.0<t≤3
C.
D.
题型:湖北省期末题
难度:
|
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已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为
,求△AOB面积的最大值.
题型:安徽省月考题
难度:
|
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