如图,椭圆C:的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B1|=,
。
解:(1)由知 ①
由知a=2c ②
又b2=a2-c2, ③
由①②③解得a2=4,b2=3
故椭圆C的方程为;
(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
假设使成立的直线l存在
(i)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得
,即
∵
∴
即x1x2+y1y2=0
将y=kx+m代人椭圆方程,得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0
由求根公式可得 ④
⑤
将④⑤代人上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,⑥
将m2=1+k2代入⑥并化简得-5(k2+1)=0,矛盾
即此时直线l不存在。
(ii)当l垂直于x轴时,满足的直线l的方程为x=1或x=-1
当x=1时,A,B,P的坐标分别为
∴
∴
当x=-1时,同理可得,矛盾
即此时直线l也不存在
综上可知,使成立的直线l不存在。
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