如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C1:y=x2-1(|x|<1)上一点M的切线l,与曲线C2:y=(|x|<1)也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>
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如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C1:y=x2-1(|x|<1)上一点M的切线l,与曲线C2:y=(|x|<1)也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>
题型:江西省模拟题
难度:
来源:
如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C
1
:y=x
2
-1(|x|<1)上一点M的切线l,与曲线C
2
:y=
(|x|<1)也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1)。
(1)用t表示m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程。
答案
解:(1)切线
,即
,
代入
,
化简并整理得,
(*),
由
,
得m=0或
。
若m=0,代入(*)式得
,与已知
矛盾;
若
,代入(*)式得,
满足条件,
且
;
综上,
,点N的坐标为
。
(2)因为,
,
,
若∠MAB=∠NAB,则
,即t=2,此时m=9,
故当实数m=9时,∠MAB=∠NAB,
此时,
,∠MAB=∠NAB=45°,
易得M(2,3),
,
所以,此时MN所在直线的方程为y=4x-5。
举一反三
已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F
1
(-1,0)、F
2
(1,0)的距离之和为常数,曲线C的离心率e=
. (1)求圆锥曲线C的方程;
(2)设经过点F
2
的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B,试证明在x轴上存在一个定点P,使
的值是常数.
题型:广东省模拟题
难度:
|
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已知椭圆C:
的右焦点为F,离心率e=
,椭圆C上的点到F的距离的最大值为
+1,直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B。
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 若
,求直线l的方程。
题型:山东省模拟题
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|
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已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为
的椭圆过点(
,
).
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.
题型:浙江省期末题
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,l),平行于OM的直线l交椭圆于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)已知
e
=(t,0),
是否对任意的正实数t,λ,都有
e
·
p
=0成立?请证明你的结论。
题型:浙江省模拟题
难度:
|
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设x,y∈R,
i
,
j
为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量
a
=x
i
+(y+2)
j
,
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8.
(Ⅰ)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A,B两点,设
,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为菱形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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