试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、直线的方程、两直线垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,(ⅰ)利用椭圆的定义及离心率列出方程,得到椭圆方程中的基本量a,b,从而得到椭圆的标准方程;(ⅱ)设出P点坐标、设出点坐标,点P在椭圆上且在直线上,得到的值,从而得到和,由于Q点是直线与y轴的交点,所以先得到直线的方程,再得到Q点坐标,从而得到,由于,所以判断F1P⊥F1Q;第二问,由第(ⅱ)问的证明,可以猜想方程. 试题解析:(1)(1) ,,,解得=.故椭圆E的方程为. 4分 (2)设, ,,其中.由题设知, 将直线代入椭圆E的方程,由于点在第一象限,解得 6分 则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=, 故直线F2P的方程为y=.当x=0时,y=, 即点Q坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=. 所以==-1. 所以F1P⊥F1Q, 10分 (2)点P过定直线,方程为 13分 |