椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,两焦点F1,F2之间的距离为2,椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的标准方程;
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椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,两焦点F1,F2之间的距离为2,椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的标准方程;
题型:不详
难度:
来源:
椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,两焦点F
1
,F
2
之间的距离为2
,椭圆上第一象限内的点P满足PF
1
⊥PF
2
,且△PF
1
F
2
的面积为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C的右顶点为A,直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且满足AM⊥AN.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
答案
(1)
+y
2
=1 (2)见解析
解析
(1)设椭圆的标准方程为
+
=1(a>b>0),因为|F
1
F
2
|=2
,所以c=
,由S△PF
1
F
2
=1,得|PF
1
||PF
2
|=2,又由PF
1
⊥PF
2
,得|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
=|F
1
F
2
|
2
=12,即(|PF
1
|+|PF
2
|)
2
-2|PF
1
||PF
2
|=12,即4a
2
-4=12,a
2
=4,b
2
=a
2
-3=1,所以椭圆C的标准方程为
+y
2
=1.
(2)由方程组
,得(1+4k
2
)x
2
+8kmx+4m
2
-4=0,
Δ=(8km)
2
-4(1+4k
2
)(4m
2
-4)>0,整理得4k
2
-m
2
+1>0.
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=-
,x
1
x
2
=
.
由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0),得(x
1
-2)(x
2
-2)+y
1
y
2
=0,
因为y
1
y
2
=(kx
1
+m)(kx
2
+m)=k
2
x
1
x
2
+km(x
1
+x
2
)+m
2
,
所以(1+k
2
)x
1
x
2
+(km-2)(x
1
+x
2
)+m
2
+4=0,
即(1+k
2
)·
+(km-2)·
+m
2
+4=0,
整理得:5m
2
+16mk+12k
2
=0,
解得m=-2k或m=-
,均满足4k
2
-m
2
+1>0.
当m=-2k时,直线的l方程为y=kx-2k,过定点(2,0),与题意矛盾,舍去;
当m=-
时,直线l的方程为y=k(x-
),过定点(
,0),符合题意.
故直线l过定点,且定点的坐标为(
,0).
举一反三
若直线mx+ny=4与⊙O:x
2
+y
2
=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆
+
=1的交点个数是( )
A.至多为1
B.2
C.1
D.0
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的两焦点分别为
,长轴长为6,
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)如图,椭圆
上的点M与椭圆右焦点
的连线
与x轴垂直,且OM(O是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过
且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q,若
的面积是
,求此时椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
,则以点
为中点的弦所在直线方程为( ).
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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下列命题正确的有___________
①已知A,B是椭圆
的左右两个顶点, P是该椭圆上异于A,B的任一点,则
.
②已知双曲线
的左顶点为A
1
,右焦点为F
2
,P为双曲线右支上一点,则
的最小值为-2.
③若抛物线
:
的焦点为
,抛物线上一点
和抛物线内一点
,过点Q作抛物线的切线
,直线
过点
且与
垂直,则
平分
;
④已知函数
是定义在R上的奇函数,
, 则不等式
的解集是
.
题型:不详
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|
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