(1)因为直线4x-3y-16=0被圆C所截得的弦长为,所以圆心C(4,m)到直线4x-3y-16=0的距离为=, 即=,解得m=4或m=-4(舍去). 又直线4x-3y-16=0过椭圆E的右焦点,所以椭圆E的右焦点F2的坐标为(4,0),则其左焦点F1的坐标为(-4,0). 因为椭圆E过A点,所以|AF1|+|AF2|=2a, 所以2a=5+=6,所以a=3,a2=18,b2=2, 故椭圆E的方程为+=1. (2)由(1)知C(4,4),又A(3,1),所以=(1,3),设Q(x,y),则=(x-3,y-1),则·=x+3y-6.令x+3y=n, 则由,消去x得18y2-6ny+n2-18=0. 因为直线x+3y=n与椭圆E有公共点, 所以Δ=(-6n)2-4×18×(n2-18)≥0, 解得-6≤n≤6,故·=x+3y-6的取值范围为[-12,0]. |