试题分析:(Ⅰ)根据题意,将(0,4)代入C的方程得b的值,进而由椭圆的离心率为,结合椭圆的性质,可得=;解可得a的值,将a、b的值代入方程,可得椭圆的方程. (Ⅱ)根据题意,可得直线的方程,设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程,化简可得方程x2﹣3x﹣8=0,解可得x1与x2的值,由中点坐标公式可得中点的横坐标,将其代入直线方程,可得中点的纵坐标,即可得答案. 解:(Ⅰ)根据题意,椭圆过点(0,4), 将(0,4)代入C的方程得,即b=4 又得=; 即,∴a=5 ∴C的方程为 (Ⅱ)过点(3,0)且斜率为的直线方程为, 设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程代入C的方程,得, 即x2﹣3x﹣8=0,解得,, ∴AB的中点坐标, , 即中点为. 点评:本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质,涉及直线与椭圆问题,一般要联立两者的方程,转化为一元二次方程,由韦达定理分析解决. |