试题分析:(1)由题得,,联立解这个方程组即得.(2)首先求出直线MN的方程.由于MN过点P(1,1),故只要求出MN的斜率即可.又由于MN平行AB,故先求出直线AB的斜率.设,则.由可得点C的坐标,由可得点D的坐标,将A、B、C、D的坐标代入椭圆方程得四个等式,利用这四个等式可整体求出,然后求出直线MN的方程,与椭圆方程联立可求得MN的中点坐标即为点P的坐标,从而问题得证 . (1)由题得,,联立 解得,,, ∴椭圆方程为 4分 (2)方法一:设,由可得. ∵点在椭圆上,故 整理得: 6分 又点在椭圆上可知, 故有 ① 由,同理可得: ② ②-①得:,即 9分 又∥,故 ∴直线的方程为:,即. 由可得: ∴是的中点,即点平分线段 12分 (2)方法二:∵,,∴,即
在梯形中,设中点为,中点为, 过作的平行线交于点 ∵与面积相等,∴ ∴,,三点共线 6分 设, ∴,, 两式相减得 , 显然,(否则垂直于轴,因不在轴上,此时不可能垂直于轴保持与平行)且(否则平行于轴或经过原点,此时,,三点不可能共线) ∴ 设直线斜率为,直线斜率为 ∴,即 ① 设直线斜率为,直线斜率为 同理,,又,∴即三点共线 8分 ∴四点共线,∴,代入①得 9分 ∴直线的方程为 即 联立得 ∴点平分线段 12分 |