试题分析:(1)连结QF,由于线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,根据椭圆的定义知,动点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.由此便可得其方程;(2)首先考虑直线AB的斜率为0或斜率不存在的情况,此时易得.当直线AB的斜率存在且不为0时,设斜率为k,则直线AB的直线方程为,将△ABC的面积用含k的式子表示出来,然后利用重要不等式求其最小值. (1)连结QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4, 故动点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆. 2分 设其方程为,可知,,则, 3分 所以点Q的轨迹的方程为为. 4分 (2)存在最小值. 5分
(ⅰ)当AB为长轴(或短轴)时,可知点C就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点),则. 6分 (ⅱ)方法一、当直线AB的斜率存在且不为0时,设斜率为k,则直线AB的直线方程为,设点, 联立方程组消去y得,, 由,知△ABC是等腰三角形,O为AB的中点,则OC⊥AB,可知直线OC的方程为,同理可得点C的坐标满足,,则,, 8分 则. 9分 由于, 所以,当且仅当,即时取等号. 综合(ⅰ)(ⅱ),当时,△ABC的面积取最小值, 11分 此时,,即,, 所以点C的坐标为,,,. 13分 方法二、前同(ⅰ),记,则,所以, 故, 当,即时,有最大值,此时取得最小值. 综合(ⅰ)(ⅱ),当时,△ABC的面积取得最小值. 11分 此时,,即,, 所以点C的坐标为,,,. 13分 方法三、设,,根据A,B两点关于原点对称, 则,所以, 由,知△ABC是等腰三角形,O为AB的中点,则OC⊥AB,,, 由, ① 且点C在椭圆上,则 ② 联立①②,解得,,所以, 8分 所以, 9分 又,即,所以, 记,,, 则,当且仅当,即时等号成立, 综合(ⅰ)(ⅱ),当时,有最小值. 11分 所以点C的坐标为,,,. 13分 |