已知椭圆的焦距为2,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左右焦点分别为,,过点的直线与椭圆C交于两点.①当直线的倾斜角为时,求的长;②求的内切圆的面积
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已知椭圆的焦距为2,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左右焦点分别为,,过点的直线与椭圆C交于两点.①当直线的倾斜角为时,求的长;②求的内切圆的面积
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的焦距为2,且过点
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左右焦点分别为
,
,过点
的直线
与椭圆C交于
两点.
①当直线
的倾斜角为
时,求
的长;
②求
的内切圆的面积的最大值,并求出当
的内切圆的面积取最大值时直线
的方程.
答案
(1)椭圆C的方程为
;(2)(1)
的长为
;(2)当
的内切圆的面积取最大值时直线
的方程为
.
解析
试题分析:(1)由已知得
,且
,联立可求得椭圆方程;
(2)(1)联立椭圆与直线方程,由弦长公式可直接求出
的长;(2)设直线
的方程为
,与椭圆方程联立消去
,得
,而
;
利用均值不等式和函数单调性的性质可得当
时,
有最大值3,这时
的内切圆面积的最大值为
,直线
的方程为
.
试题解析:(1)由已知,得
,且
,解得
,
故椭圆C的方程为
; 4分
(2)①由
,消去
得
, 6分
则
; 9分
②设直线
的方程为
,由
,得
,显然
,
设
,则有
,
设
的内切圆半径为
,由
可知,
当
最大时,
也最大,
的内切圆面积也最大.
由
12分
令
,则
,且
,则
,
令
,则
,从而
在区间
上单调递增,故有
所以
,即当
,
时,
有最大值3,即
,
这时
的内切圆面积的最大值为
,直线
的方程为
. 14分
举一反三
已知椭圆
C
的两个焦点是
)和
,并且经过点
,抛物线的顶点
E
在坐标原点,焦点恰好是椭圆
C
的右顶点
F
.
(1)求椭圆
C
和抛物线
E
的标准方程;
(2)过点
F
作两条斜率都存在且互相垂直的直线
l
1
、
l
2
,
l
1
交抛物线
E
于点
A
、
B
,
l
2
交抛物线
E
于点
G
、
H
,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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若两曲线在交点P处的切线互相垂直,则称该两曲线在点P处正交,设椭圆
与双曲线
在交点处正交,则椭圆
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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已知椭圆
(1)求椭圆C的标准方程。
(2)过点Q(0,
)的直线与椭圆交于A、B两点,与直线y=2交于点M(直线AB不经过P点),记PA、PB、PM的斜率分别为k
1
、k
2
、k
3
,问:是否存在常数
,使得
若存在,求出名
的值:若不存在,请说明理由.
题型:不详
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|
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已知动点
在椭圆
上,若
点坐标为
,
,且
则
的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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已知
分别是椭圆的左,右焦点,现以
为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点
,若过
的直线
是圆
的切线,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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