试题分析:(1)由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜边长为2,即,故,由此可得椭圆方程 (2)首先考虑与坐标轴平行的特殊情况,当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为;当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为,解方程组求出这两个圆的交点: 若存在定点Q,则Q的坐标只可能为 接下来就一般情况证明为所求 设直线,则,将与椭圆方程联立,利用韦达定理得:,代入上式证明其等于0即可 试题解析:(1)由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, 又斜边长为2,即故, 椭圆方程为 (4分) (2)当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为; 当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为 ,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为 (6分) 下证明为所求: 若直线斜率不存在,上述已经证明 设直线, , , (8分)
(10分)
,即以AB为直径的圆恒过点 (13分) 注: 此题直接设,得到关于的恒成立问题也可求解 |