如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆=1的右顶点,点D(1,0),点P、B在椭圆上,=. (1) 求直线BD的方程;(2) 求直线BD被过P、A、B三
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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆=1的右顶点,点D(1,0),点P、B在椭圆上,=. (1) 求直线BD的方程;(2) 求直线BD被过P、A、B三
题型:不详
难度:
来源:
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆
=1的右顶点,点D(1,0),点P、B在椭圆上,
=
.
(1) 求直线BD的方程;
(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长;
(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)x+y-1=0.(2)4
(3)x
2
+(y-3)
2
=2,(x-2)
2
+(y-1)
2
=2
解析
1) 设P(x
0
,y
0
).因为
=
,且D(1,0),A(3,0),点B、P在椭圆上,所以B(-x
0
,y
0
),所以x
0
=1,将其代入椭圆,得y
0
=2,所以P(1,2),B(-1,2).所以直线BD的方程为x+y-1=0.
(2) 线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为y=x-1.解方程组
得圆心C的坐标为(0,-1).所以圆C的半径r=CP=
.因为圆心C(0,-1)到直线BD的距离为d=
=
,所以直线BD被圆C截得的弦长为2
=4
.
(3) 这样的圆M与圆N存在.由题意得,点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线y=x-1上.当圆M与圆N是两个相外切的等圆时,一定有P、M、N在一条直线上,且PM=PN.M(0,b),则N(2,4-b).因为点N(2,4-b)在直线y=x-1上,所以4-b=2-1,b=3.所以这两个圆的半径为PM=
,方程分别为x
2
+(y-3)
2
=2,(x-2)
2
+(y-1)
2
=2
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在坐标原点O,右焦点为F.若C的右准线l的方程为x=4,离心率e=
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点P为准线l上一动点,且在x轴上方.圆M经过O、F、P三点,求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,正方形CDEF内接于椭圆
,且它的四条边与坐标轴平行,正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上,顶点P,Q在正方形的边EF上.且CD=2PQ=
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0),l交椭圆于A,B两个不同点,求证:直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
题型:不详
难度:
|
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已知直线2x+y-4=0过椭圆E:
的右焦点F
2
,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与y轴交于点N,F
1
是椭圆E的左焦点,且|MN|=|MF
1
|,则椭圆E的方程为
.
题型:不详
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|
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设定圆
,动圆
过点
且与圆
相切,记动圆
圆心
的轨迹为
.
(1)求轨迹
的方程;
(2)已知
,过定点
的动直线
交轨迹
于
、
两点,
的外心为
.若直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知
是椭圆
的两个焦点,
为坐标原点,点
在椭圆上,且
,⊙
是以
为直径的圆,直线
:
与⊙
相切,并且与椭圆交于不同的两点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当
,且满足
时,求弦长
的取值范围.
题型:不详
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|
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