设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去x得(4m2+9)y2+16my-20=0,所以y1+y2=,y1y2=. 若PM平分∠APB,则直线PA,PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.设P(a,0),则有+=0,将x1=my1+2,x2=my2+2代入上式,整理得=0, 所以2my1y2+(2-a)(y1+y2)=0.将y1+y2=,y1y2=代入上式,整理得(-2a+9)·m=0.由于上式对任意实数m都成立,所以a=. 综上,x轴上存在定点P,使PM平分∠APB. |