试题分析:(1)求椭圆的方程,可利用待定系数法求出 的值即可,首先确定抛物线 的焦点 与准线方程为 ,利用椭圆焦点 与抛物线 的焦点重合,得 ,且截抛物线的准线所得弦长为 ,得交点为 ,建立方程,求出 的值,即可求得椭圆的方程;(2)根据倾斜角为 的直线 过点 ,可得直线 的方程 ,由(1)知椭圆的另一个焦点为 ,利用 与 关于直线 对称,利用对称,可求得 的坐标,由此可得结论. 试题解析:(1)抛物线 的焦点为 ,准线方程为 , ∴ ① 2分 又椭圆截抛物线的准线 所得弦长为 , ∴ 得上交点为 ,∴ ② 4分 由①代入②得 ,解得 或 (舍去), 从而 ∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分 (2)∵ 倾斜角为 的直线 过点 , ∴ 直线 的方程为 ,即 , 7分 由(1)知椭圆的另一个焦点为 ,设 与 关于直线 对称,则得 , 9分 解得 ,即 , 2分 又 满足 ,故点 在抛物线上。所以抛物线 上存在一点 ,使得 与 关于直线 对称。 13分 |