已知椭圆与双曲线x2－y2＝0有相同的焦点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0，1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△A

题型：不详难度：来源：

已知椭圆与双曲线x²－y²＝0有相同的焦点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0，1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．

答案

（1）＝1（2）

解析

(1)设椭圆方程为＝1，a>b>0，
由c＝，＝，可得a＝2，b²＝a²－c²＝2，
所以椭圆的标准方程为＝1.
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由＝2，得可得x₁＝－2x₂.①
设过点P的直线方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程，整理得(2k²＋1)x²＋4kx－2＝0，
则x₁＋x₂＝－，②x₁x₂＝，③
由①②得x₂＝，将x₁＝－2x₂代入③得＝，
所以＝，解得k²＝.
又△AOB的面积S＝|OP|·|x₁－x₂|＝·＝.所以△AOB的面积是.