已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为

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已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．

答案

解析

在△ABF中，由余弦定理得
|AF|²＝|AB|²＋|BF|²－2|AB|·|BF|cos∠ABF，
∴|AF|²＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，
从而|AB|²＝|AF|²＋|BF|²，则AF⊥BF.
∴c＝|OF|＝|AB|＝5，
利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，
则|BF′|＝|AF|＝6，
∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.
因此椭圆的离心率e＝＝.