试题分析:(1)利用离心率可得 , 关系.由两个顶点距离可得 , 距离,由此结合 可求得 , 的值,从而求得椭圆的标准方程;(2)分直线 的斜率不存在与存在两种情况求解.当直线 的斜率不存在时,情况特殊,易求解;当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 与椭圆方程联立消去 得到关于 的一元二次方程,然后结合韦达定理与 ,以及点到直线的距离公式求解;(3)在 中,利用 = 与 ,结合基本不等式求解. 试题解析:(1)由 ,得 , 由顶点 的距离为 ,得 , 又由 ,解得 ,所以椭圆C的方程为 . (2)解:(ⅰ)点 到直线 的距离为定值. 设 , ① 当直线AB的斜率不存在时,则 为等腰直角三角形,不妨设直线 : , 将 代入 ,解得 , 所以点 到直线 的距离为 ; ② 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 与椭圆 : , 联立消去 得 ,
, . 因为 ,所以 , , 即 , 所以 ,整理得 , 所以点 到直线 的距离 = . 综上可知点 到直线 的距离为定值 . (ⅱ)在 中,因为 =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023143720-24575.png) 又因为 ≤ ,所以 ≥ , 所以 ≥ ,当 时取等号,即 的最小值是 . |