设椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C
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设椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的离心率
e
=
,右焦点到直线
=1的距离
d
=
,
O
为坐标原点.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)过点
O
作两条互相垂直的射线,与椭圆
C
分别交于
A
,
B
两点,证明,点
O
到直线
AB
的距离为定值,并求弦
AB
长度的最小值.
答案
(1)
=1(2)
解析
(1)由
e
=
得
=
,即
a
=2
c
,∴
b
=
c
.
由右焦点到直线
=1的距离为
d
=
,
=1化为一般式:
bx
+
ay
-
ab
=0得
=
,解得
a
=2,
b
=
.
所以椭圆
C
的方程为
=1.
(2)设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),当直线
AB
斜率存在时,设直线
AB
的方程为
y
=
kx
+
m
.与椭圆
=1联立消去
y
,得(4
k
2
+3)
x
2
+8
kmx
+(4
m
2
-12)=0.由根与系数的关系得
x
1
+
x
2
=-
,
x
1
x
2
=
.
∵
OA
⊥
OB
,∴
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0,∴
x
1
x
2
+(
kx
1
+
m
)(
kx
2
+
m
)=0,即(
k
2
+1)
x
1
x
2
+
km
(
x
1
+
x
2
)+
m
2
=0,
∴(
k
2
+1)
-
+
m
2
=0.
整理得7
m
2
=12(
k
2
+1),所以
O
到直线
AB
的距离
d
=
=
=
(为定值).
当直线
AB
斜率不存在时,可求出直线
AB
方程为
x
=±
,则点
O
到直线
AB
的距离为
(定值)
∵
OA
⊥
OB
,∴
OA
2
+
OB
2
=
AB
2
≥2
OA
·
OB
,当且仅当
OA
=
OB
时取“=”,由直角三角形面积公式得:
d
·
AB
=
OA
·
OB
.
∵
OA
·
OB
≤
,∴
d
·
AB
≤
.
∴
AB
≥2
d
=
,故当
OA
=
OB
时,弦
AB
的长度取得最小值
.
举一反三
已知
F
1
,
F
2
分别为椭圆
C
1
:
=1(
a
>
b
>0)的上下焦点,其中
F
1
是抛物线
C
2
:
x
2
=4
y
的焦点,点
M
是
C
1
与
C
2
在第二象限的交点,且|
MF
1
|=
.
(1)试求椭圆
C
1
的方程;
(2)与圆
x
2
+(
y
+1)
2
=1相切的直线
l
:
y
=
k
(
x
+
t
)(
t
≠0)交椭圆于
A
,
B
两点,若椭圆上一点
P
满足
,求实数
λ
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的方程为
,
是它的一条倾斜角为
的弦,且
是弦
的中点,则椭圆
的离心率为_________.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆的焦点在
轴上,一个顶点为
,其右焦点到直线
的距离为
,则椭圆的方程为
.
题型:不详
难度:
|
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直线
过椭圆
的左焦点
和一个顶点
,则椭圆的方程为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C的中心在原点,焦点在
轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F
1
B
1
F
2
B
2
是一个面积为8的正方形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P的坐标为P(-4,0), 过P点的直线L与椭圆C相交于M、N两点,当线段MN的中点G落在正方形内(包含边界)时,求直线L的斜率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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